棋类与数学所涉的智商象棋残局解析

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棋类游戏所涉及的思维方式和数学研究的思维方式有相当的相似之处，但也有一定的区别。先举一个例子。Hex这个看着很像围棋，事实上也和围棋有一定渊源的游戏，叫做Hex。与围棋的四千年历史不同，Hex在年才被丹麦数学家PietHein发明。五年后，著名数学家JohnNash再次独立发明了Hex。Hex的规则甚至比围棋更简洁：双方轮流落子，首先用棋子将标有己方颜色的两边连接起来的一方即获胜。二维的Brouwer不动点定理如图，蓝方获胜。Nash证明了Hex是一个determinedgame，即一盘Hex不可能以和局告终。证明过程的关键一步是二维的Brouwer不动点定理。定理：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。年，荷兰数学家布劳威尔（LuitzenBrouwer）证明了这么一个定理：假设D是某个圆盘中的点集，f是一个从D到它自身的连续函数，则一定有一个点x，使得f(x)=x。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwerfixedpointtheorem）。除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同（虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方）。Brouwer不动点定理是拓扑学中的一个基本定理，而Nash巧妙地将其与“离散”的棋类游戏Hex联系到一起。更进一步地，Nash还证明了，Hex不存在和局这一事实，是二维Brouwer不动点定理的充要条件，即二者完全等价。楼上有很多答主提到，下棋用的思维方式与数学研究的思维方式迥然不同。然而大家可能都忽略了，棋类游戏里的一些问题确实需要用数学研究的方式才能解决。也许知道Hex没有和局并不能帮助你赢得一局棋，但是“Hex没有和局”这个结论本身的价值是不言自明的。我们再来说围棋。在我看来，围棋是最具有“数学气质”的游戏。一方面，她的规则高度抽象而简洁；另一方面，她足够复杂，围棋就是一个极其复杂的数学问题。一个优秀的数学家，本科的时候大概也经历过大量平凡而枯燥的习题的训练，这和围棋手幼时记忆大量定式是相似的。同时，定式对于顶尖围棋手并非决定性的，就像本科时的习题对于数学家来说是Trivial的一样。不过，职业围棋手的思维方式确实与数学家的思维方式不同。这一点体现在很多问题上，其中最重要的是围棋规则问题。日本曾执近代围棋之牛耳二百年之久，但二十世纪中叶以前竟然没有成文的围棋规则。直到吴清源在一局半目胜负的对局中挑起争议，成文的日本围棋规则才被制定。然而，日本规则的核心——数目法，在逻辑上漏洞百出。比如，因为数目法，日本规则将盘角曲四强制定义为死棋，即使它有死灰复燃的可能。又比如，因为数目法，日本规则将“不提三目”的棋型强制规定为三目。每次修订规则，日本人都为一个又一个这样的“小”问题不停地打补丁，却始终不能完美地解决问题。围棋而中国人在五十年代制定围棋规则时另辟蹊径，采用了数子法，简单地避开了日本规则里的一个又一个问题。更进一步地，中国规则还采用了“禁全同”，从技术上杜绝了棋局（因为循环）无法终止的可能性。然而，因为“执行起来麻烦”，禁全同规则在执行了一次以后就被弃而不用，直至今日。到今天，中日韩三个围棋大国一国一个规则，应氏集团赞助的比赛则采用应氏规则，另外美国、新西兰棋协也有各自的规则。这些规则中，有些用数目法，有些用数子法；有的禁全同，有的不禁。有的规定双活无目，有的则不做此规定。统一的围棋规则遥遥无期，而各国棋院的负责人好像一点都不以为意。事实上，各国围棋规则主要的研究者，日本的池田敏雄，中国的陈祖源（不是陈祖德）都是业余爱好者，并非职业棋手。当然还有一个更实用的也是非常困难的终极问题——围棋的贴目数究竟应该是几目。希望数学思维和职业棋手围棋知识的结合，能够让我们更接近这一围棋的终极秘密。本文系「象棋残局解析」原创，欢迎评论转发，

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